3 连续体结构拓扑优化方法

    结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构。优化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。

    3.1 均匀化方法(Homogenization Method)

    均匀化方法是连续体结构拓扑优化中最常用的方法，属材料描述方式。其基本思想是在拓扑结构的材料中引入微结构(单胞)，微结构的形式和尺寸参数，决定了宏观材料在此点的弹性性质和密度。优化过程中以微结构的单胞尺寸作为拓扑设计变量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。目前针对均匀化模型的研究工作包括微结构模型理论的研究和均匀化模型实际应用的研究。利用Bensous-san等人发展的一套基于摄动理论的关于周期性结构分析方法，来建立材料微结构尺寸与材料宏观弹性性质之间的关系，具有较严格的数学基础，成为连续体结构拓扑优化研究中的主要方法。目前这一方法已用于处理多工况的二维、三维连续体结构拓扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动、屈曲问题的拓扑优化，并被用于复合材料的设计中。

    3.2 变密度方法(Artificial Materials)

    变密度法也是一种常用的拓扑优化方法，属材料(物理)描述方式。变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高。变密度法中常用的插值模型主要有：固体各向同性惩罚微结构模型(solid isotropic microstructures with penalization，简称SIMP)和材料属性的合理近似模型(rational approximation of material properties，简称RAMP)。SIMP或RAMP通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚，使中间密度值向0/1两端聚集，使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近0-1离散变量的优化模型，这时中间密度单元对应一个很小的弹性模量，对结构刚度矩阵的影响将变得很小。变密度法在多工况应力约束下平面体结构、三维连续体结构、结构碰撞、汽车车架设计等问题上得到成功应用。代表性的工作有：Mlejnek建立的变密度模型；张东旭对平面弹性体问题的研究；YangRenjie对于车身拓扑优化的应用等等。

    3.3 渐进结构优化方法(Evolutionary Structural Optimization，简称ESO法)

    渐进结构优化方法是近年来兴起的一种解决各类结构优化问题的数值方法。ESO的基本概念很简单，即通过将无效的或低效的材料一步步去掉，剩下的结构也将趋于优化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网格，对存在的材料单元，其材料数编号为非零的数，而对不存在的材料单元，其材料数编号为零，当计算结构刚度矩阵等特性时，不计材料数为零的单元特性(通过数据映射转换，建立固定有限元网格数据信息和计算结构刚度矩阵等特性所需的有效网格数据信息关系)。通过这种零和非零模式实现结构的拓扑优化。特别是，该方法可采用已有的通用有限元分析软件，通过迭代过程在计算机上实现。算法通用性好，不仅可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化(主要包括应力、位移/刚度、频率或临界应力约束问题的优化)，而且结构的单元数规模可成千上万。尽管该方法在收敛性的证明方面有所欠缺，但许多算例已证明ESO方法在解决实际问题时是非常成功的。徐斌等在ESO方法的基础上，针对简谐激励下的连续体结构的拓扑优化提出了一种新的优化指示器。荣见华等基于ESO提出了一种适合于桥梁结构的拓扑优化方法。它具有优化以张力和(或)压力占优的设计能力并进一步提出了一种精细网格设计方案。

    ESO法的另一突破是双方向渐进结构法(Bi-Directional Evolutionary Structural Optimization，简称BESO)。传统的ESO法仅允许删除单元，被删除了的单元在后继的迭代中不能恢复，相对来说影响了方法的总体最优的可信性和计算效率，其进化方式限制了它的应用。Ouerin以及荣见华等发展了双方向渐进结构优化法。荣见华等提出了一种在结构边界和空洞周围附加人工材料的思路。该方法能采用固定有限元网格中不同的初始优化结构获得拓扑优化。在此基础上，建立了简谐载荷作用下结构动响应及其导数的计算公式，然后综合静、动应力等性能特性以及他们的灵敏度，建立了一套静、动力特性约束的结构拓扑双方向进化优化方法。由于其概念上的简洁性和应用上的有效性，该方法具有较大的理论价值和很好的工程应用前景。此外，傅建林等提出了一种基于Ishai应力的双向ESO法，该方法考虑了不同材料的强度特性，提高了优化解的可信度；罗志凡等提出了一种基于主应力的双向渐进结构优化方法，该方法避免了解的振荡问题；杜海珍等提出了一种基于应变能的双向ESO法；易伟建和刘霞将遗传算法和ESO算法揉合到一起，发展了一种新的遗传ESO算法，简称GESO算法，这种算法在不增加时间的前提下，把群体的概念借鉴到ESO中，巧妙解决了遗传算法费时和ESO法容易陷入局部最优解的两个问题。

    除了以上几种常用的拓扑优化方法外，还有一些其它有前途的方法。如Eschenauer的“泡泡法”(bubble method)；Jog和Haber等人的“等周方法”(Perimeter method)；Fleurg和Becker提出的基于离散拓扑变量的对偶问题解法；Michael YW等提出的“水平集方法”(Ievel set method)；软杀法(soft kill method)和硬杀法(hard kill method)；Maute和Ramm提出的自适应网格法也有一定的参考价值。

    在优化算法的选择上，学者们提出了各种各样求解拓扑优化的方法。目前应用较多的有OC法(Optimality Criteria)，SIMP法(SoIid Isotropic Microstructure with Penalization)，SLP法(Seguential Linear Programming)和MMA法(Method of Moving Asymptotes)等。OC法是基于直觉的准则法，是把数学中最优解应满足的K-T条件作为最优结构应满足的准则，用优化准则来更新设计变量和拉格朗日乘子。该法的突出特点是对设计变量修改较大，因而收敛速度快，迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关；缺点是对不同类型的约束、变量、目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。MMA法即移动渐进线法，用一显式的线性凸函数来近似代替隐式的目标和约束函数，由事先确定的左、右渐进点和原函数在各点的导数符号来确定迭代准则即每一步的近似函数。如果左、右渐进点分别趋近负无穷大和正无穷大时，MMA法就等同于用SLP近似。其优点是该法是全局收敛的，并且对解的存在性有重要的理论依据，对初值不敏感，比较稳定，缺点是计算效率低。SIMP法更多地同密度法结合使用，在优化过程中引入惩罚因子。SLP法即序列线性规划法，该法的通用性好，但收敛速度慢，对初值敏感。

    需要指出的是在实际的拓扑优化过程中存在数值计算不稳定的现象，主要包括：棋盘格式，网格依赖性，局部极值和多孔材料问题等。Jog把拓扑优化问题归结为一个极大极小值优化问题，在有限元计算中采用高阶单元取代低阶单元，Bendsoe提出了8节点和9节点单元插值法，Kikuchi提出了超单元法；此外，Haber提出了周长约束法，Eschenauer提出了冒泡法，Sigmund提出了梯度矢量平滑过渡法，Wang和Sethian提出应用Level Set方法描述结构边界等都在一定程度上解决了棋盘格式问题。相对于棋盘格式而言，网格依赖性以及局部极值问题的解决方法相对较少。Haber和Eschenauer的解决棋盘格式问题的方法，在一定程度上也可抑制网格依赖性问题，Bendsoe提出了整体梯度约束方法，Petersson和Sigmund提出了局部梯度约束方法，Sigmund还提出了一个不依赖于网格尺寸的滤波方法。

4 结论和展望

    结构拓扑优化仍然处在发展初期,理论上虽有较多进展,但实际应用相对来说较少，在这一领域迫切需要取得进展。因为拓扑优化不仅能提供新的结构形式，还对新材料的研制有作用。就拓扑优化的发展方向，应主要在下面几个方面：

    (1)在模型构造上寻求新的途径。结合工程具体问题进行拓扑优化设计的研究,使之更接近于实际。针对不同领域(如动力、传热、材料设计等)研究拓扑优化方法。

    (2)可靠性的优化。结构的可靠性正日益成为现代结构设计的重要指标，基于可靠性的拓扑优化设计应该是将来的一个研究方向。

    (3)平行算法(parallel algorithms)。结构优化的巨大计算量,要求更快的计算机处理速度，平行处理是提高计算机处理速度的重要技术。

    (4)可靠、高效、通用算法的进一步研究。使拓扑优化问题能够获得全局最优解。

    (5)软件开发。应研制开发一批面向实际问题的专用的结构优化软件。软件应具有友好的用户界面,合宜的图像处理模块，实现优化过程与成果的可视化，且能与有关专业的CAD软件连接或在它的框架内成为它的一个子系统。