点列收敛的概念本质上来源于拓扑，因此谈到收敛一定要想着对应什么样的拓扑。

定义1.1 对任意的拓扑空间 ,称序列 收敛到 ，若满足对 的任何一个领域 ，存在一个正整数 ，使得当 时，恒有 。

对于无拓扑结构的非空集合 ，我们可以通过它到拓扑空间的映射来赋予 上的拓扑，具体而言：

设有映射族 ，其中 为任意指标集， 为 到 的映射， 为拓扑空间，将集族 作为准基（子基）生成的拓扑 称作 上由 生成的拓扑。

在拓扑空间 中，点 处的领域基具有形式 其中 为 的领域， 为 的有限子集。

特别地，若取 恒为 ，即实数集和其上的欧式拓扑，领域基具有形式 ，其中 , 为 的有限子集。

定理1.2 在 中收敛到 当且仅当对任意的 ， 在 中收敛到

特别地，考虑赋范线性空间 ，若取 ( 的对偶空间)，则生成的拓扑称为 上的弱拓扑。

上面所说的收敛都是点列的收敛，下面考虑映射列的收敛。

其实可以把任意一个映射 看做乘积空间 上的一个点，其中 为拓扑空间。映射列的收敛就转换成 中点列的收敛性。具体而言，若将 看做 到 的映射族，即取 ，记生成的拓扑为 称作点态收敛拓扑，则 在 中收敛到 当且仅当对任意的 ， (看做 )收敛到 （ 看做 ），这就是我们常说点态收敛。

remark：上述生成的拓扑 与 上的积拓扑是一致的。

一致收敛的概念就对应着一致拓扑

定义1.3 设 是一个度量空间， 是 上相应于 的标准有界度量.若 与 是笛卡尔积 的两个点，令 称其为 相应于 的度量 的一致度量。由该度量诱导的拓扑为 上的一致拓扑。

回顾一致收敛的定义：设 是集合 到度量空间 的映射列，称 一致收敛于 ，若对任意的 ，存在正整数 ，当 时，对于任意的 ，有 。

当然我们有 收敛到 在 下当且仅当 一致收敛于

定理1.4 如果空间 完备，则 完备。

现在我们把指标集 取作拓扑空间 ，这并不会影响上面的所有讨论。但我们考虑所有映射 构成的集合时（即 ）, 上的拓扑是无所谓的。但我们若考虑所有连续映射 构成的集合 时，就与 上的拓扑有关了。

定理1.5 设 是一个拓扑空间， 是一个度量空间，则连续映射全体 和有界映射全体 在一致度量 下都是 的闭集。因此若 完备，则这两个空间都完备。

我们常常在 上定义另一种度量： ，称作上确界度量。上确界度量和一致度量有一些简单的联系。事实上，若 ，则有 ,若 是紧致的，那么 ，此时上确界度量就可以定义在 上。

[Ascoli定理，经典形式]设 是一个紧致空间， 表示关于平方度量或欧式度量的欧式空间，赋予 相应的一致拓扑，那么 的子空间 有紧致闭包当且仅当 关于 是等度连续和点态有界的。

现在我们已经在 上赋予了点态收敛拓扑和一致拓扑，下面引入第三类常见的拓扑。

我们知道连续函数列在一致拓扑下的极限是连续的，然而在点态收敛拓扑下未必有连续的极限。那么是否存在介于这两个拓扑之间，且仍能保证连续函数的收敛序列有连续的极限呢？答案是肯定的，这个拓扑的构造如下

定义 设 是一个度量空间， 是一个拓扑空间。给定 的一个元素 ， 的一个紧致子空间 以及一个数 ，令 。容易验证集合族 满足构成拓扑基的条件，其生成的拓扑称为紧致收敛拓扑。

关于三种拓扑的关系有如下包含关系：(一致拓扑) (紧致收敛拓扑) (点态收敛拓扑)

最后给出Ascoli定理的一般形式：

[Ascoli定理]设 是一个度量空间， 是一个拓扑空间，赋予 紧致收敛拓扑，设 是 的一个子集。

1. 若 关于 是等度连续的，并且集合 对于每个 有紧致闭包，则 包含于 的一个紧致子空间中。
2. 若 是局部紧致的Hausdorff空间，则逆命题也成立。